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【题目】已知定点,动点P为平面上一个动点,且直线SPTP的斜率之积为.

1)求动点P的轨迹E的方程;

2)设点B为轨迹Ey轴正半轴的交点,是否存在斜率为直线l,使得l交轨迹EMN两点,且恰是的重心?若存在,求l的方程;若不存在,说明理由.

【答案】12)不存在,详见解析

【解析】

1)设,由结合两点间斜率计算公式,整理化简即可;

2)根据题意,设直线的方程为,联立直线和椭圆的方程构成方程组,将韦达定理和相结合,求出的值,但不满足,进而可得出结果.

1)设,由已知有

整理得动点的轨迹的方程为

2)由(1)知,的方程为,所以

设存在直线适合题意,并设的方程为.

,得

,得.

因为点的重心,所以

,解得

时,不满足

所以不存在直线,使得的重心.

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