Question

一质点运动的方程为s=8-3t²．
（1）求质点在[1，1+△t]这段时间内的平均速度；
（2）求质点在t=1时的瞬时速度（用定义及求导两种方法）．

Answer 1

分析：本题考查的是变化率及变化快满问题．在解答时：
（1）首先结合条件求的△s，然后利用平均速度为

△s

△t

进行计算即可获得问题的解答；
（2）定义法：即对平均速度为

△s

△t

当△t趋向于0时求极限即可获得解答；求导法：t=1时的瞬时速度即s=8-3t²在t=1处的导数值，故只需求t=1时函数s=8-3t²的导函数值即可获得问题的解答．

解答：解：由题意可知：
（1）∵s=8-3t²
∴△s=8-3（1+△t）²-（8-3×1²）=-6△t-3（△t）²，
∴质点在[1，1+△t]这段时间内的平均速度为：

.

v

=

△s

△t

=-6-3△t．

（2）定义法：质点在t=1时的瞬时速度为v=

lim

△t→0

△s

△t

=

lim

△t→0

(-6-3△t)=-6．
求导法：质点在t时刻的瞬时速度v=s'（t）=（8-3t²）'=6t，
∴当t=1时，v=-6×1=-6．

点评：导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系．对位移s与时间t的关系式求导可得瞬时速度与时间t的关系．根据导数的定义求导数是求导数的基本方法，诮按照“一差、二比、三极限”的求导步骤来求．值得同学们体会和反思．