Question

数列{a_n}，{b_n}，{c_n}满足：b_n=a_n-2a_n+1，c_n=a_n+1+2a_n+2-2，n∈N^*．
（1）若数列{a_n}是等差数列，求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）若数列{b_n}，{c_n}都是等差数列，求证：数列{a_n}从第二项起为等差数列；
（3）若数列{b_n}是等差数列，试判断当b₁+a₃=0时，数列{a_n}是否成等差数列？证明你的结论．

Answer 1

考点：数列递推式,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列的定义只要证明b_n+1-b_n=一个常数即可；
（2）当n≥2时，c_n-1=a_n+2a_n+1-2，b_n=a_n-2a_n+1，可得an=

bn+cn-1

2

+1，an+1=

bn+1+cn

2

+1，只要证明a_n+1-a_n等于一个常数即可；
（3）解：数列{a_n}成等差数列．
解法1　设数列{b_n}的公差为d'，由b_n=a_n-2a_n+1，利用“错位相减”可得2nbn+2n-1bn-1+…+2b1=2a1-2n+1an+1，设Tn=2b1+22b2…+2n-1bn-1+2nbn，可得Tn=-2b1-4(2n-1-1)d′+2n+1bn，进而得到an+1=

2a1+2b1-4d′

2n+1

-(bn-d′)，令n=2，得a3=

2a1+2b1-4d′

23

-(b2-d′)=

2a1+2b1-4d′

23

-b1，利用b₁+a₃=0，可得a_n+2-a_n+1=-（b_n+1-d'）+（b_n-d'）=-d'，即可证明．
解法2 由b_n=a_n-2a_n+1，b₁+a₃=0，令n=1，a₁-2a₂=-a₃，即a₁-2a₂+a₃=0，可得b_n+1=a_n+1-2a_n+2，b_n+2=a_n+2-2a_n+3，2b_n+1-b_n-b_n+2=（2a_n+1-a_n-a_n+2）-2（2a_n+2-a_n+1-a_n+3），由于数列{b_n}是等差数列，可得2b_n+1-b_n-b_n+2=0，可得2a_n+1-a_n-a_n+2=2（2a_n+2-a_n+1-a_n+3），即可证明．

解答： 证明：（1）设数列{a_n}的公差为d，
∵b_n=a_n-2a_n+1，
∴b_n+1-b_n=（a_n+1-2a_n+2）-（a_n-2a_n+1）=（a_n+1-a_n）-2（a_n+2-a_n+1）=d-2d=-d，
∴数列{b_n}是公差为-d的等差数列．　
（2）当n≥2时，c_n-1=a_n+2a_n+1-2，
∵b_n=a_n-2a_n+1，
∴an=

bn+cn-1

2

+1，∴an+1=

bn+1+cn

2

+1，
∴an+1-an=

bn+1+cn

2

-

bn+cn-1

2

=

bn+1-bn

2

+

cn-cn-1

2

，
∵数列{b_n}，{c_n}都是等差数列，
∴

bn+1-bn

2

+

cn-cn-1

2

为常数，
∴数列{a_n}从第二项起为等差数列．
（3）解：数列{a_n}成等差数列．
解法1　设数列{b_n}的公差为d'，
∵b_n=a_n-2a_n+1，
∴2nbn=2nan-2n+1an+1，
∴2n-1bn-1=2n-1an-1-2nan，…，2b1=2a1-22a2，
∴2nbn+2n-1bn-1+…+2b1=2a1-2n+1an+1，
设Tn=2b1+22b2…+2n-1bn-1+2nbn，
∴2Tn=22b1+…+2nbn-1+2n+1bn，
两式相减得：-Tn=2b1+(22+…+2n-1+2n)d′-2n+1bn，
即Tn=-2b1-4(2n-1-1)d′+2n+1bn，
∴-2b1-4(2n-1-1)d′+2n+1bn=2a1-2n+1an+1，
∴2n+1an+1=2a1+2b1+4(2n-1-1)d′-2n+1bn=2a1+2b1-4d′-2n+1(bn-d′)，
∴an+1=

2a1+2b1-4d′

2n+1

-(bn-d′)，
令n=2，得a3=

2a1+2b1-4d′

23

-(b2-d′)=

2a1+2b1-4d′

23

-b1，
∵b₁+a₃=0，
∴

2a1+2b1-4d′

23

=b1+a3=0，
∴2a₁+2b₁-4d′=0，
∴a_n+1=-（b_n-d′），
∴a_n+2-a_n+1=-（b_n+1-d′）+（b_n-d′）=-d′，
∴数列{a_n}（n≥2）是公差为-d'的等差数列，
∵b_n=a_n-2a_n+1，令n=1，a₁-2a₂=-a₃，即a₁-2a₂+a₃=0，
∴数列{a_n}是公差为-d'的等差数列．
解法2∵b_n=a_n-2a_n+1，b₁+a₃=0，
令n=1，a₁-2a₂=-a₃，即a₁-2a₂+a₃=0，
∴b_n+1=a_n+1-2a_n+2，b_n+2=a_n+2-2a_n+3，
∴2b_n+1-b_n-b_n+2=（2a_n+1-a_n-a_n+2）-2（2a_n+2-a_n+1-a_n+3），
∵数列{b_n}是等差数列，
∴2b_n+1-b_n-b_n+2=0，
∴2a_n+1-a_n-a_n+2=2（2a_n+2-a_n+1-a_n+3），
∵a₁-2a₂+a₃=0，
∴2a_n+1-a_n-a_n+2=0，
∴数列{a_n}是等差数列．

点评：本题考查了等差数列的定义及其通项公式，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．