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已知两个不共线的向量
OA
OB
的夹角为θ(θ为定值),且|
OA
|=3
|
OB
|=2

(1)若θ=
π
3
,求
OA
AB
的值;
(2)若点M在直线OB上,且|
OA
+
OM
|
的最小值为
3
2
,试求θ的值.
解法一:(1)
OA
AB
=
OA
•(
OB
-
OA
)=-
OA
2
+
OA
OB

=-|
OA
|2+|
OA
||
OB
|cosθ=-9+3×2×
1
2
=-6
(6分)
(2)设
OM
OB

则显然λ≠0
|
OA
+
OM
|2=
OA
2
+2
OA
OM
+
OM
2

①当λ>0时
|
OA
+
OM
|2=|
OA
|2+2|
OA
|•|
OM
|cosθ+|
OM
|2

=9+12cosθ•λ+4λ2(*)(8分)
要使得(*)有最小值,
其对称轴λ=-
3
2
cosθ>0

即cosθ<0
|
OA
+
OM
|2
min
=
144-144cos2θ
16
=
9
4

解得cosθ=-
3
2
(10分)
又0°≤θ≤180°
∴θ=150°(12分)
②当λ<0时
|
OA
+
OM
|2=|
OA
|2-2|
OA
|•|
OM
|cosθ+|
OM
|2

=9+12cosθ•λ+4λ2(#)
要使得(#)有最小值,
其对称轴λ=-
3
2
cosθ<0

即cosθ>0
|
OA
+
OM
|2
min
=
144-144cos2θ
16
=
9
4

解得cosθ=
3
2

又0°≤θ≤180°
∴θ=30°(15分)
综上所述,θ=30°或150°(16分)
法二:以O为坐标原点,OB方向为X轴正方向,建立平面直角坐标系,
则A(3cosθ,3sinθ),B(2,0)
(1)当θ=
π
3
时,
OA
=(
3
2
3
3
2
),
AB
=(
1
2
,-
3
3
2
)
(3分)
OA
AB
=
3
4
-
27
4
=-6
(6分)
(2)设
OM
=(2λ,0)

OA
+
OM
=(3cosθ+2λ,3sinθ)
(8分)
|
OA
+
OM
|2=(3cosθ+2λ)2+9sin2θ=4λ2+12cosθ•λ+9
(10分)
λ=-
3
2
cosθ
时,
|
OA
+
OM
|2
min
=
144-144cos2θ
16
=
9
4

解得cosθ=±
3
2
(14分)
又0°≤θ≤180°
∴θ=30°或150°(16分)
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知两个不共线的向量a,b满足a+2xb=xa+yb,那么实数x,y的值分别是(  )
A、0,0B、1,2C、0,1D、2,1

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知两个不共线的向量
a
b
满足
a
=(1,
3
),
b
=(cosθ,sinθ)(θ∈R)

(1)若2
a
-
b
a
-7
b
垂直,求向量
a
b
的夹角;
(2)当θ∈[0,
π
2
]
时,若存在两个不同的θ使得|
a
+
3
b
|=|m
a
|
成立,求正数m的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知两个不共线的向量
a
b
,它们的夹角为θ,且|
a
|=3
|
b
|=1
,x为正实数.
(1)若
a
+2
b
a
-4
b
垂直,求tanθ;
(2)若θ=
π
6
,求|x
a
-
b
|
的最小值及对应的x的值,并判断此时向量
a
x
a
-
b
是否垂直?

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知两个不共线的向量
a
b
,它们的夹角为θ,且|
a
|=3
|
b
|=1
,若
a
+
b
a
-4
b
垂直,则sin(θ+
π
6
)
=
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知两个不共线的向量
a
b
的夹角为θ,且|
a
|=3,|
b
|=1,x为正实数.
(1)若
a
+2
b
a
-4
b
垂直,求tanθ;
(2)若θ=
π
6
,求|x
a
-
b
|的最小值及对应的x的值,并指出此时向量
a
与x
a
-
b
的位置关系;
(3)若θ为锐角,对于正实数m,关于x的方程|x
a
-
b
|=|m
a
|有两个不同的正实数解,且x≠m,求m的取值范围.

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