Question

15．在△ABC中，三内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知A=$\frac{π}{3}$，a=2．
（Ⅰ）求△ABC面积S的最大值；
（Ⅱ）求sinB+cosB的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用余弦定理列出关系式，把cosA与a的值代入并利用基本不等式求出bc的最大值，即可确定出△ABC面积S的最大值；
（Ⅱ）原式利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出范围．

解答 解：（Ⅰ）∵在△ABC中，A=$\frac{π}{3}$，a=2，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得4=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，即bc≤4，
∴S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc≤$\sqrt{3}$，
则S的最大值为$\sqrt{3}$；
（Ⅱ）sinB+cosB=$\sqrt{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$），
∵A=$\frac{π}{3}$，A+B+C=π，
∴0＜B＜$\frac{2π}{3}$，即$\frac{π}{4}$＜B+$\frac{π}{4}$＜$\frac{11π}{12}$，
∴sin$\frac{11π}{12}$＜sin（B+$\frac{π}{4}$）≤sin$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$＜sin（B+$\frac{π}{4}$）≤1，
则$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$＜sinB+cosB≤$\sqrt{2}$．

点评 此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．