Question

【题目】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，满足（2a﹣c）cosB=bcosC．
（1）求B的大小；
（2）如图，AB=AC，在直线AC的右侧取点D，使得AD=2CD=4．当角D为何值时，四边形ABCD面积最大．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵（2a﹣c）cosB=bcosC，

∴（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，

∴2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC，

∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，

∵sinA≠0，

∴cosB= ，

∴B=

（2）解：∵AB=AC，B= ，

∴△ABC为等边三角形，

∵若四边形ABCD面积最大，

∴△ADC的面积最大，

设AC=x，在△ADC中，由余弦定理可得x2=AC2=CD2+AD2﹣2CDADcosD=4+16﹣2×2×4cosD，

∴cosD= ，

∴sinD= ，当x2=20时，即x=2 ，﹣（20﹣x2）2+162最大，即sinD最大，最大为1，

∵S△ADC= CDADsinD=4sinD，

∴D= 时，S△ADC的面积最大，

∴当D= 时，四边形ABCD面积最大

【解析】（1）根据正弦定理和两角和的正弦公式即可求出B的大小，（2）若四边形ABCD面积最大，则△ADC的面积最大，根据余弦定理和同角的三角函数的关系以及二次函数的性质可得当D= 时，四边形ABCD面积最大