Question

已知向量

m

=（sinωx，1），

n

=（

3

Acosωx，

A

2

cos2ωx）（A＞0，ω＞0），函数f（x）=

m

•

n

的最大值为3，且其图象相邻两条对称轴之间的距离为π．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）将函数y=f（x）的图象向左平移

π

6

个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的

1

2

倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．
（1）求函数g（x）的单调递减区间；
（2）求函数g（x）在[

π

4

，

π

2

]上的值域．

Answer 1

分析：（I）利用两个向量的数量积的定义、三角函数的恒等变换，化简函数f（x）的解析式为Asin（2ωx+

π

6

），由最大值求得A，由周期求出ω，从而确定函数f（x）的解析式．
（II）根据y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律 求出函数g（x）=3sin（2x+

π

3

）．（1）由2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，求得x的范围，即可求得g（x）的单调递减区间．
（2）当x的范围，求得2x+

π

3

的范围，可得sin（2x+

π

3

）的范围，从而求得g（x）的范围．

解答：解：（I）函数f（x）=

m

•

n

=

3

Asinωxcosωx+

A

2

cos2ωx=A（

3

2

sinωxcosωx+

1

2

cos2ωx）=Asin（2ωx+

π

6

），…（3分）
因为函数f（x）的最大值为3，且其图象相邻两条对称轴之间的距离为π，
所以A=3，函数的周期T=2π，又 T=

2π

ω

，所以ω=

1

2

．   …（5分）
所以 f（x）=3sin（x+

π

6

）．   …（6分）
（II）将函数y=f（x）的图象向左平移

π

6

个单位，得到函数 y=3sin[（x+

π

6

）+

π

6

]的图象，
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的

1

2

倍，纵坐标不变，得到函数g（x）=3sin（2x+

π

3

）的图象．       …（8分）
（1）因为函数y=sinx 的单调递减区间为[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，（k∈z ），
所以 2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，解得 kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

，
所以函数g（x）的单调递减区间为[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]，（k∈z）．…（11分）
（2）当x∈[

π

4

，

π

2

]时，2x+

π

3

∈[

5π

6

，

4π

3

]，sin（2x+

π

3

）∈[-

3

2

，

1

2

]，g（x）∈[-

3 3

2

，

3

2

]．
所以函数g（x）在[

π

4

，

π

2

]上的值域为[-

3 3

2

，

3

2

]．    …（14分）

点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，三角函数的恒等变换及化简求值，y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域、单调性，属于中档题．