Question

20．已知函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）设g（x）=log₄（a•2^x-1），若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据偶函数可知f（x）=f（-x），取x=-1代入即可求出k的值；
（2）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，则方程f（x）=g（x）有且只有一个实根，设2^x=t（t＞0），则（a-1）•t²-t-1=0有一解，讨论a，即可求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数
∴f（x）=f（-x）得到：f（-1）=f（1）⇒log₄（4^-1+1）-k=log₄（4+1）+k，
∴k=-$\frac{1}{2}$；
（2）$g（x）={log_4}（a•{2^x}-1）$
函数f（x）与g（x）图象有且只有一个公共点，即方程f（x）=g（x）只有一个解
由已知得${log_4}（{4^x}+1）-\frac{1}{2}x={log_4}（a•{2^x}-1）$
∴${log_4}\frac{{{4^x}+1}}{2^x}={log_4}（a•{2^x}-1）$
方程等价于$\left\{{\begin{array}{l}{a•{2^x}-1＞0}\\{\frac{{{4^x}+1}}{2^x}=a•{2^x}-1}\end{array}}\right.$
设2^x=t（t＞0），则（a-1）•t²-t-1=0有一解
若a-1＞0，设h（x）=（a-1）•t²-t-1，
∵h（0）=-1＜0，∴恰好有一正解
∴a＞1满足题意
若a-1=0，即a=1时，不满足题意
若a-1＜0，即a＜1时，由△=1+4（a-1）=0，得a=$\frac{3}{4}$．
当a=$\frac{3}{4}$时，t=-2（舍去）
综上所述实数a的取值范围是{a|a＞1}．

点评 本题主要考查了偶函数的性质，以及对数函数图象与性质的综合应用，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题．