Question

把边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长为xcm的相等的正方形，然后折成一个高度为xcm的无盖的长方体的盒子，要求长方体的高度与底面边长的比值不超过常数k（k＞0），
（1）用x和k表示出长方体的体积的表达式V=V（x），并给出函数的定义域；
（2）问x取何值时，盒子的容积最大，最大容积是多少？

Answer 1

分析：（1）设长方体高为xcm，则底面边长为（60-2x）cm，（0＜x＜30），从而可得长方体容积的函数表达式，利用长方体的高度与底面边长的比值不超过常数k（k＞0），可求函数定义域；
（2）对（1）中的函数表达式求导，确定函数的极值点，结合函数的定义域，分类求出V的最大值．

解答：解：（1）设长方体高为xcm，则底面边长为（60-2x）cm，（0＜x＜30），
所以长方体容积V=V（x）=x（60-2x）²=4x（x-30）²；…（4分）
∵

x

60-2x

≤k，∴0＜x≤

60k

2k+1

．
即函数定义域为(0，

60k

2k+1

]，…（6分）
（2）V′（x）=4（x-30）²+8x（x-30）=4（x-30）（3x-30）=12（x-30）（x-10）
令V′（x）=0，解得x=10，x=30（不合题意舍去）于是     …（8分）

x	（0，10）	10	（10，30）
V'（x）	+	0	-
V（x）	↑		↓

①当10≤

60k

2k+1

，即k≥

1

4

时，在x=10时，V取得最大值为V_max=40•20²=16000；                  …（10分）
②当

60

2k+1

＜10，即0＜k＜

1

4

时，在x=

60k

2k+1

时，V取得最大值Vmax=

216000k

(2k+1)3

．…（12分）

点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的关键，考查函数的最值，解题的关键是利用长方体的条件公式求出函数表达式，利用导数的方法求函数的最值，注意分类讨论．