Question

（本题满分14分）
设函数，且，其中是自然对数的底数.
（1）求与的关系；
（2）若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；
（3）设，若在上至少存在一点，使得＞成立，求实数的
取值范围.

Answer 1

（1） ；（2）. （3）.

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。
（1）利用题目中的条件f(e)的值，得到p,q的关系式。
（2）因为函数在其定义域内为单调函数，那么导函数应该是恒大于等于零或者恒小于等于零，那么得到参数的范围。
（3）构造函数，通过研究函数的最值，得到参数的范围。
解：（1）由题意得           
而，所以、的关系为         
（2）由（1）知，                   
令，要使在其定义域内是单调函数，只需在内满足：恒成立.     
①当时，，
因为＞，所以＜0，＜0，
∴在内是单调递减函数，即适合题意；
②当＞0时，，其图像为开口向上的抛物线，对称轴为，
∴，
只需，即，
∴在内为单调递增函数，故适合题意.
③当＜0时，，其图像为开口向下的抛物线，对称轴为，只要，即时，在恒成立，故＜0适合题意.                     
综上所述，的取值范围为.      
（3）∵在上是减函数，
∴时，；时，，即，
当时，由（2）知在上递减＜2，不合题意；
②当0＜＜1时，由，
又由（2）知当时，在上是增函数，
∴＜，不合题意；
③当时，由（2）知在上是增函数，＜2，
又在上是减函数，故只需＞，  ，
而，，
即 ＞2，     解得＞ ，
综上，的取值范围是.