Question

如图所示，水平地面上有一个大球，现作如下方法测量球的大小：用一个锐角为60°的三角板，斜边紧靠球面，一条直角边紧靠地面，并使三角板与地面垂直，P为三角板与球的切点，如果测得PA=5，则球的表面积为

300π

．

Answer 1

分析：连接OA，由AP与AD为圆O的切线，根据切线性质得到∠OPA与∠ODA都为直角，由∠BAC=60°，根据平角定义得到∠PAD为120°，再根据切线长定理得到∠OAP等于∠PAD的一半，得出∠OAP=60°，在直角三角形OAP中，根据锐角三角函数定义得出OP=APtan60°，进而求出OP的长，即为半径R，代入球的表面积公式即可求出．

解答：解：连接OA，∵AB与AD都为圆O的切线，
∴∠OPA=90°，∠ODA=90°，
∵∠BAC=60°，∴∠PAD=120°，
∵PA、AD都是⊙O的切线，
∴∠OAP=

1

2

∠PAD=60°，
在Rt△OPA中，PA=1cm，tan60°=

OP

AP

，
则OP=APtan60°=5

3

cm，即⊙O的半径R为5

3

cm．
则球的表面积S=4πR²=4π•（5

3

）²=300π．
故答案为：300π．

点评：本题考查了球的体积和表面积，圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．