Question

已知正数x，y，z满足x²+y²+z²=6．
（Ⅰ）求x+2y+z的最大值；
（Ⅱ）若不等式|a+1|-2a≥x+2y+z对满足条件的x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：柯西不等式在函数极值中的应用,函数恒成立问题,绝对值不等式的解法

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）运用柯西不等式，（x²+y²+z²）（1²+2²+1²）≥（x+2y+z）²，即可得到最大值；
（Ⅱ）不等式|a+1|-2a≥x+2y+z对满足条件的x，y，z恒成立即为|a+1|-2a≥（x+2y+z）_max=6，对a+1讨论，即可解得a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由于x²+y²+z²=6，
由柯西不等式，（x²+y²+z²）（1²+2²+1²）≥（x+2y+z）²，
即有（x+2y+z）²≤36，
又x、y、z是正数，
则x+2y+z≤6即x+2y+z的最大值为6，
当且仅当

x

1

=

y

2

=

z

1

，即当x=z=1，y=2时取得最大值；
（Ⅱ）由题意及（Ⅰ）得，|a+1|-2a≥（x+2y+z）_max=6，
即：a+1≥0且a+1-2a≥6①a+1＜0，且-a-1-2a≥6，②
即a≥-1，且a≤-5；a＜-1且a≤-

7

3

．
解得：a无解或a≤-

7

3

．
综上，实数a的取值范围为（-∞，-

7

3

]．

点评：本小题主要考查柯西不等式、绝对值的意义、绝对值不等式、恒成立问题等基础知识，考查运算求解能力，分类讨论思想．