Question

设抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线与x轴交点为Q，过Q点的直线l交抛物线于A、B两点．
（1）若直线l的斜率为

2

2

，求证：

FA

•

FB

=0；
（2）设直线FA，FB的斜率分别为k_FA，k_FB，探究k_FA与k_FB的关系并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由Q(-

p

2

，0)，知直线l的方程为y=

2

2

(x+

p

2

)，由

y= 2 2 (x+ p 2 ) y2=2px

，得y2-2

2

py+p2=0，由此能够证明

FA

•

FB

=0．
（2）设直线l的方程为：y=k（x+

p

2

），k≠0，由

y=k(x+ p 2 ) y2=2px

，得ky²-2px+kp²=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁y₂=p²，kFA=

y1

x1- p 2

，kFB=

y2

x2- p 2

，由此能够推导出k_FA与k_FB互为相反数．

解答：解：（1）∵Q(-

p

2

，0)，
∴直线l的方程为y=

2

2

(x+

p

2

)，
由

y= 2 2 (x+ p 2 ) y2=2px

，
消去x，得y2-2

2

py+p2=0，
解得A(

3+2 2

2

p，(

2

+1)p)，B（

3-2 2

2

p，(

2

-1)p），
而F（

p

2

，0），
故

FA

=((1+

2

)p，(1+

2

)p)，

FB

=((1-

2

)p，(

2

-1) p)，
∴

FA

•

FB

=-p2+p2=0，
（2）∵过Q点的直线l交抛物线于A、B两点，
∴直线l的方程为：y=k（x+

p

2

），k≠0，
由

y=k(x+ p 2 ) y2=2px

，
消去x，得ky²-2py+kp²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁y₂=p²，
kFA=

y1

x1- p 2

，kFB=

y2

x2- p 2

，
∴kFA=

p2 y2

y12 2p - p 2

=

p2 y2

( p2 y2  )2 2p - p 2

=

y2

p 2 - y22 2p

=-k_FB．
∴k_FA与k_FB互为相反数．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．