Question

2．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AP=1，AD=$\sqrt{3}$，E为线段PD上一点，记$\frac{PE}{PD}$=λ． 当λ=$\frac{1}{2}$时，二面角D-AE-C的平面角的余弦值为$\frac{2}{3}$．
（1）求AB的长；
（2）当λ=$\frac{1}{3}$时，求直线BP与直线CE所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A为坐标原点，AB，AD，AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，求出相关点的坐标，设B（m，0，0）（m＞0），则C（m，2，0），$\overrightarrow{AC}$=（m，2，0）．求出平面ACE的法向量，平面DAE的法向量，利用向量的数量积的关系，列出方程求解即可．
（2）求出$\overrightarrow{PB}=（1，0，-1），\overrightarrow{EC}=（1，\frac{4}{3}，-\frac{2}{3}）$，利用向量的数量积求解即可．

解答 （本小题满分10分）
解：（1）因为PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．
如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系A-xyz，则D（0，2，0），E$（0，1，\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{AE}=（0，1，\frac{1}{2}）$．
设B（m，0，0）（m＞0），则C（m，2，0），$\overrightarrow{AC}$=（m，2，0）．
设$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z）为平面ACE的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AE}=0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}mx+2y=0\\ y+\frac{1}{2}z=0\end{array}\right.$可取$\overrightarrow{{n}_{1}}$=$（\frac{2}{m}，-1，2）$．             …（3分）
又$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（1，0，0）为平面DAE的法向量，…（4分）
由题设易知|cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞|=$|\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}|$=$\frac{2}{3}$，即$\frac{2}{{\sqrt{4+5{m^2}}}}=\frac{2}{3}$，解得m=1．
即AB=1．…（6分）
（2）易得$\overrightarrow{PB}=（1，0，-1），\overrightarrow{EC}=（1，\frac{4}{3}，-\frac{2}{3}）$，
|cos＜$\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{EC}$＞|=$|\frac{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{EC}}{|\overrightarrow{PB}||\overrightarrow{EC}|}|$=$\frac{5\sqrt{58}}{58}$．
所以直线BP与直线CE所成角的余弦值为$\frac{{5\sqrt{58}}}{58}$．…（10分）

点评 本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．