牧场中羊群的最大养殖量为m,为了保证羊群的生长空间,实际养殖量x小于m,以便留出适当的空闲量m-x.已知羊群的年增长量y与“实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积”成正比,比例系数为k(k>0).
(Ⅰ)写出y关于x的函数关系式,并指出该函数的定义域;
(Ⅱ)求羊群年增长量的最大值;
(Ⅲ)当羊群年增长量达到最大值时,求k的取值范围.
【答案】
分析:(I)由羊群的年增长量y与“实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积”成正比,比例系数为k(k>0),我们根据题意求出空闲率,即可得到y关于x的函数关系式,并指出这个函数的定义域;
(II)由(I)中给出的y关于x的函数关系式,我们使用配方法,易分析出羊群年增长量的最大值;
(Ⅲ)由题意知
,解不等式,即可得到结论.
解答:解:(Ⅰ)由题意,空闲率为
∴
,x∈(0,m)…(4分)
(Ⅱ)
,x∈(0,m)…(6分)
因为函数
在
上是增函数,在
上是减函数.
所以当
时,
,所以羊群年增长量的最大值为
.…(8分)
(Ⅲ)由题意知
…(10分)
得0<k≤2…(11分)
答:当羊群年增长量达到最大值时,k的取值范围为0<k≤2.…(12分)
点评:本题考查利用数学知识解决实际问题,考查配方法的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.