【题目】设F为抛物线的焦点,A、B是抛物线C上的两个动点,O为坐标原点.
(I)若直线AB经过焦点F,且斜率为2,求线段AB的长度|AB|;
(II)当OA⊥OB时,求证:直线AB经过定点M(4,0).
【答案】(Ⅰ)5;(Ⅱ)直线AB经过定点M(4,0)
【解析】分析:(I)由题意得到直线AB的方程,代入抛物线方程后,结合根据系数的关系和弦长公式可得所求.(II)设直线AB的方程为,代入抛物线方程消去x后得到二次方程,由OA⊥OB及根与系数的关系可得,从而证得直线过定点.
详解:(I)由题意得F(1,0),则直线AB的方程为.
由,消去y整理得.
其中△=5>0.
设点,
则,
所以.
(II)方法一:因为A,B是抛物线C上的两点,
所以设,
由OA⊥OB得,
所以.
所以
因为,
所以∥,
即直线AB经过定点M(4,0).
方法二:设直线AB的方程为,
由消去x整理得,
∵直线AB与抛物线交于两点,
∴.
设,
则.
∵OA⊥OB,
∴
,
∴,
解得,
∴直线AB的方程为,
∴直线AB经过定点M(4,0).
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【题目】已知点在椭圆: ()上,设, , 分别为左顶点、上顶点、下顶点,且下顶点到直线的距离为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设点, ()为椭圆上两点,且满足,求证: 的面积为定值,并求出该定值.
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【题目】若存在正整数T,对于任意正整数n都有an+T=an成立,则称数列{an}为周期数列,周期为T.已知数列{an}满足a1=m(m>0),an+1= , 关于下列命题:
①当m=时,a5=2
②若m= , 则数列{an}是周期为3的数列;
③对若a2=4,则m可以取3个不同的值;
④m∈Q且m∈[4,5],使得数列{an}是周期为6.
其中真命题的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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【题目】为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班人进行了问卷调查得到了如下的列联表:
喜爱打篮球 | 不喜爱打篮球 | 合计 | |
男生 | |||
女生 | |||
合计 |
已知在全部人中随机抽取人抽到喜爱打篮球的学生的概率为.
(1)请将上面的列联表补充完整;
(2)是否有的把握认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由;
下面的临界值表供参考:
(参考公式:,)
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【题目】已知椭圆,点P(2,0).
(I)求椭圆C的短轴长与离心率;
( II)过(1,0)的直线与椭圆C相交于M、N两点,设MN的中点为T,判断|TP|与|TM|的大小,并证明你的结论.
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【题目】某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台.每批都购入台,且每批均需付运费400元.贮存购入所有的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比,比例系数为,若每批购入400台,则全年需用去运输和保管总费用43600元.
(1)求的值;
(2)现在全年只有24000元资金用于支付这笔费用,请问能否恰当安排每批进货的数量使资金够用?写出你的结论,并说明理由.
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【题目】已知某渔船在渔港O的南偏东60°方向,距离渔港约160海里的B处出现险情,此时在渔港的正上方恰好有一架海事巡逻飞机A接到渔船的求救信号,海事巡逻飞机迅速将情况通知了在C处的渔政船并要求其迅速赶往出事地点施救.若海事巡逻飞机测得渔船B的俯角为68.20°,测得渔政船C的俯角为63.43°,且渔政船位于渔船的北偏东60°方向上.
(Ⅰ)计算渔政船C与渔港O的距离;
(Ⅱ)若渔政船以每小时25海里的速度直线行驶,能否在3小时内赶到出事地点?
(参考数据:sin68.20°≈0.93,tan68.20°≈2.50,shin63.43°≈0.90,tan63.43°≈2.00, ≈3.62, ≈3.61)
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【题目】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是( )
A. 消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米
B. 以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多
C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油
D. 某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
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