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19.直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,B1C1的中点,BC=CA=CC1,求BM与AN所成的角的余弦值.

分析 以C为原点,直线CA为x轴,直线CB为y轴,直线CC1为z轴,利用向量法能求出BM与AN所成的角的余弦值.

解答 解:以C为原点,直线CA为x轴,直线CB为y轴,直线CC1为z轴,
建立空间直角坐标系,
设BC=CA=CC1=2,
则B(0,2,0),A1(2,0,2),B1(0,2,2),
M(1,1,2),C1(0,0,2),N(0,1,2),A(2,0,0),
$\overrightarrow{BM}$=(1,-1,2),$\overrightarrow{AN}$=(-2,1,2),
设BM与AN所成角为θ,
则cosθ=|cos<$\overrightarrow{BM},\overrightarrow{AN}$>|=$\frac{|\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{AN}|}{|\overrightarrow{BM}|•|\overrightarrow{AN}|}$=$\frac{|-2-1+4|}{\sqrt{6}•\sqrt{9}}$=$\frac{\sqrt{6}}{18}$.
∴BM与AN所成的角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{18}$.

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.

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