Question

【题目】已知函数f（x）=x3﹣x2﹣2a，若存在x0∈（﹣∞，a]，使f（x0）≥0，则实数a的取值范围为 ．

Answer 1

【答案】[﹣1,0]∪[2,+∞）
【解析】解：∵函数f（x）=x3﹣x2﹣2a，

∴f′（x）=3x2﹣2x，

当x＜0，或x＞ 时，f′（x）＞0，当0＜x＜ 时，f′（x）＜0，

故当x=0时，函数取极大值﹣2a，

若a≤0，若存在x0∈（﹣∞，a]，使f（x0）≥0，则f（a）=a3﹣a2﹣2a≥0，

解得：a∈[﹣1，0]，

若a＞0，若存在x0∈（﹣∞，a]，使f（x0）≥0，则f（0）=﹣2a≥0，或f（a）=a3﹣a2﹣2a≥0，

解得：a∈[2，+∞），

综上可得：a∈[﹣1，0]∪[2，+∞），

所以答案是：[﹣1，0]∪[2，+∞）．

【考点精析】解答此题的关键在于理解特称命题的相关知识，掌握特称命题：，，它的否定：，;特称命题的否定是全称命题．