Question

（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知曲线C₁的参数方程为

x=4+5cost y=5+5sint

（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（Ⅰ）把C₁的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求C₁与C₂交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）

Answer 1

分析：（Ⅰ）对于曲线C₁利用三角函数的平方关系式sin²t+cos²t=1即可得到圆C₁的普通方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到C₁的极坐标方程；
（Ⅱ）先求出曲线C₂的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求出C₁与C₂交点的极坐标．

解答：解：（I）曲线C₁的参数方程式

x=4+5cost y=5+5sint

（t为参数），
得（x-4）²+（y-5）²=25即为圆C₁的普通方程，
即x²+y²-8x-10y+16=0．
将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得．
∴ρ²-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0，此即为C₁的极坐标方程；
（II）曲线C₂的极坐标方程为ρ=2sinθ化为极坐标方程为：x²+y²-2y=0，
由

x2+y2-8x-10y+16=0 x2+y2-2y=0

，解得

x=1 y=1

或

x=0 y=2

．
∴C₁与C₂交点的极坐标分别为（

2

，

π

4

），（2，

π

2

）．

点评：本题主要考查了参数方程化成普通方程，点的极坐标和直角坐标的互化．熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、两圆的位置关系是解题的关键．