Question

设函数f(x)=mx-

m

x

-2lnx．
（1）当m=1，x＞1时，求证：f（x）＞0；
（2）若对于x∈[1，

3

]，均有f（x）＜2成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当m=1时，先求出函数的导函数，对?x∈（1，+∞），有f′（x）＞0，则f（x）在（1，+∞）为单调增函数，从而f（x）＞f（1）=0；
（2）对任意x∈[1，

3

]，则f′（x）＜2 恒成立等价于f(x)max＜2(x∈[1，

3

])，然后讨论m的正负利用导数研究函数在x∈[1，

3

]上的最大值即可求出m的范围．

解答：解：（1）当m=1时，f（x）=x-

1

x

-2lnx，f′ (x)=1+

1

x2

-

2

x

=

(x-1)2

x2

 对?x∈（1，+∞），有f′（x）＞0．∴f（x）在（1，+∞）为单调增函数，∴当x＞1时，f（x）＞f（1）=0．
 （2）对任意x∈[1，

3

]，∴f′（x）＜2 恒成立等价于f(x)max＜2(x∈[1，

3

])
当m=0时，∵f′ (x)=-

2

x

＜0，∴f（x）在[1，

3

]上为单调减函数．∴f（x）_max=f（1）=0＜2
当m＜0时，对任意x∈[1，

3

]，f′(x)=

mx2-2x+m

x2

＜0，∴f(x)max＜2(x∈[1，

3

])成立．
当m＞0时，f′(x)=

mx2-2x+m

x2

（a）当4-4m²≤0，即m≥1时，f′（x）＞0对任意的x∈(1，

3

)恒成立，
∴f（x）在[1，

3

]上是增函数．∴f(x)max=f(

3

) =m(

3

-

1

3

)-2ln

3

，
 由m(

3

-

1

3

)-2ln

3

＜2，解得m＜

3

(1+ln

3

)．∴1≤m＜

3

(1+ln

3

)．
（b）当4-4m²＞0，即0＜m＜1时，令f′（x）=0，得x=

1+ 1-m2

m

＞1，令

1+ 1-m2

m

=

3

，得m=

3

2

1）当0＜m≤

3

2

时，x=

1

m

+ 

1 m2 -1

≥

2

3

+ 

( 2 3 )2-1

=

3

，f（x）在[1，

3

]上是减函数，∴f（x）_max=f（1）=0＜2．
2）当

3

2

＜m＜1时，x=

1

m

+

1 m2 -1

＜

3

，则f（x）在（1，x₂）上是减函数，∴f（x）在(x2，

3

)上是增函数，
∴当x=1或x=

3

时，f（x）取最大值．∴

f(1)＜2 f( 3 ) ＜2

，即m＜

3

(1+ln

3

)，∴

3

2

＜m＜1．
 综上，m的取值范围是(-∞，

3

(1+ln

3

))．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数单调性和函数的最值，同时考查了函数恒成立问题，是一道综合题，注意分类讨论，计算量比较大．