Question

一个几何体的三视图如下图所示，其中主视图与左视图是腰长为6的等腰直角三角形，俯视图是正方形。

（Ⅰ）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；
（Ⅱ）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁? 如何组拼？试证明你的结论；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的情形下,设正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱CC₁的中点为E, 求平面AB₁E与平面ABC所成二面角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）体积是    
（Ⅱ）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，
（Ⅲ）平面AB₁E与平面ABC所成二面角的余弦值=。

本题的构图方式是通过三视图来给出，并且更为重视对空间几何体的认识.
（Ⅰ）该几何体的直观图如图1所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面ABCD是边长为6的正方形，高PD=6，故所求体积是    
（Ⅱ）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，即由四棱锥D₁-ABCD，D₁-BB₁C₁C，D₁-BB₁A₁A组成。其拼法如图2所示. （Ⅲ）因△AB₁E的边长AB₁=，B₁E=，AE=9，所以，而，所以平面AB₁E与平面ABC所成二面角的余弦值=。