Question

已知A，B分别是直线y=x和y=-x上的两个动点，线段AB的长为2，D是AB的中点．
（1）求动点D的轨迹C的方程；
（2）若过点（1，0）的直线l与曲线C交于不同两点P、Q，
①当|PQ|=3时，求直线l的方程；
②设点E（m，0）是x轴上一点，求当•恒为定值时E点的坐标及定值．

Answer 1

解：（1）设D（x，y），A（a，a），B（b，-b），
∵D是AB的中点，∴x=，y=，
∵|AB|=2，∴（a-b）²+（a+b）²=12，
∴（2y）²+（2x）²=12，∴点D的轨迹C的方程为x²+y²=3．
（2）①当直线l与x轴垂直时，P（1，），Q（1，-），
此时|PQ|=2，不符合题意；
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x-1），
由于|PQ|=3，所以圆心C到直线l的距离为，
由=，解得k=．故直线l的方程为y=（x-1）．
②当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y=k（x-1），
由消去y得（k²+1）x²-2k²x+k²-3=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）则由韦达定理得x₁+x₂=，x₁x₂=，
则=（m-x₁，-y₁），=（m-x₂，-y₂），
∴•=（m-x₁）（m-x₂）+y₁y₂=m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂+y₁y₂
=m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂+k²（x₁-1）（x₂-1）
=m²-++k²（-+1）=
要使上式为定值须=1，解得m=1，
∴•为定值-2，
当直线l的斜率不存在时P（1，），Q（1，-），
由E（1，0）可得=（0，-），=（0，），
∴•=-2，
综上所述当E（1，0）时，•为定值-2．
分析：（1）设D（x，y），A（a，a），B（b，-b），通过D是AB的中点，|AB|的距离，列出方程即可求动点D的轨迹C的方程；
（2）若过点（1，0）的直线l与曲线C交于不同两点P、Q，
①当|PQ|=3时，通过直线的斜率存在与不存在分别求解，利用圆心到直线的距离求出直线的斜率，然后求直线l的方程；
②当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y=k（x-1），推出（k²+1）x²-2k²x+k²-3=0，
由韦达定理以及•，确定•为定值-2，当直线l的斜率不存在时，求出P（1，），Q（1，-），
得到•=-2，即可求出•恒为定值时E点的坐标及定值．
点评：本题考查直线与圆心位置关系，数量积与韦达定理的应用，轨迹方程的求法，考查计算能力，分类讨论思想．