Question

（1）已知矩阵M=

0 1

1 0

，N=

0 1

-1 0

．在平面直角坐标系中，设直线2x-y+1=0在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线F，求曲线F的方程．
（2）在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C （2，

π

3

），半径R=

5

，求圆C的极坐标方程．
（3）已知a，b为正数，求证：

1

a

+

4

b

≥

9

a+b

．

Answer 1

分析：（1）利用矩阵的乘法法则求出MN，设出已知直线的一点坐标（x，y），求出这点在矩阵MN对应变换下的坐标（x'，y'）与设出坐标
（x，y）的关系，分别求出x^′和y^′，代入已知直线方程即可得到曲线F的方程；
（2）将圆心极坐标化为普通坐标，根据半径写出圆的标准方程，然后令x等于ρcosθ，y等于ρsinθ，代入化简即可得到圆C的极坐标方程；（3）由a与b都为正数，给不等式的左边乘以（a+b），去括号化简后，利用基本不等式求出最小值，然后把不等式变形即可得证．

解答：解：（1）由题设得MN=

0 1 1 0

•

0 -1 1 0

=

1 0

0 -1

，
设（x，y）是直线2x-y+1=0上任意一点，
点（x，y）在矩阵MN对应的变换作用下变为（x'，y'），
则有

1 0 0 -1

x y

=

x′ y′

，即

x -y

=

x′ y′

，所以

x=x′ y=-y′

因为点（x，y）在直线2x-y+1=0上，从而2x'-（-y'）+1=0，即：2x'+y'+1=0
所以曲线F的方程为2x+y+1=0；
（2）将圆心C（2，

π

3

）化成直角坐标为（1，

3

），半径R=

5

，
故圆C的方程为（x-1）²+（y-

3

）²=5．
再将C化成极坐标方程，得（ρcosθ-1）²+（ρcosθ-

3

）²=5．
化简，得ρ²-4ρcos（θ-

π

3

）+1=0，此即为所求的圆C的方程；
（3）证明：∵a＞0，b＞0，所以(a+b)(

1

a

+

4

b

)=5+

b

a

+

4a

b

≥5+2

b a × 4a b

=9
∴

1

a

+

4

b

≥

9

a+b

点评：此题考查学生会求一点在矩阵变换下的坐标，会根据条件求圆的极坐标方程，灵活运用基本不等式化简求值，是一道综合题．