Question

P、Q是抛物线C：y=x²上两动点，直线l₁，l₂分别是C在点P、点Q处的切线，l₁∩l₂=M，l₁⊥l₂．
（1）求证：点M的纵坐标为定值，且直线PQ经过一定点；
（2）求△PQM面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）设P（x₁，x₁²），Q（x₂，．x₂²），再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而得出切线的方程，结合l₁⊥l₂得点M的纵坐标为定值，且直线PQ经过一定点；
（2）令x₁+x₂=k，由（1）知点M坐标，直线PQ方程，利用点到直线距离S_△PQM的面积，最后利用基本不等式求出面积的最小值即可．

解答：解：（1）设P（x₁，x₁²），Q（x₂，．x₂²），
又y'=2x
则l₁方程为y-x₁²=2x₁（x-x₁）
即y=2x₁x-x₁²①l₂方程为y=2x₂x-x₂²②
由①②解得yM=x1x2，xM=

x1+x2

2

（3分）
由l₁⊥l₂得2x₁2x₂=-1
即x1x2=-

1

4

所以yM=-

1

4

，（5分）
PQ方程为y-x₁²=（x₁+x₂）（x-x₁）
即y=（x₁+x₂）x-x₁x₂
即y=(x1+x2)x+

1

4

由此得直线PQ一定经过点(0，

1

4

)（8分）
（2）令x₁+x₂=k，
则由（1）知点M坐标(

k

2

，-

1

4

)
直线PQ方程为y=kx+

1

4

，即kx-y+

1

4

=0（10分）
∴点M到直线PQ距离h=

| k2 2 + 1 4 + 1 4 |

1+k2

=

1

2

1+k2

|PQ|=

(x1-x2)2+( x 2 1 - x 2 2 )2

=

[(x1+x2)2-4x1x2][1+(x1+x2 ) 2   ]

=

(k2+1)(1+k2)

=1+k2．（12分）
∴S△PQM=

1

4

1+k2

•(1+k2)≥

1

4

，
当k=0时“=”成立，
∴S_△PQM最小值为

1

4

．（15分）

点评：直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等   突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能．