Question

【题目】把两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，在所得的六面体中，所有二面角相等，而顶点可分成两类：在第一类中，每一个顶点发出三条棱；而在第二类顶点中，每一个顶点发出四条棱。试求连结两个第一类顶点的线段长与连结两个第二类顶点的线段长之比。

Answer 1

【答案】

【解析】

设D-ABC和E-ABC是全等的正三棱锥，它们的底面是正.

如果将它们的底面粘在一起，那么所得的六面体的顶点D和E应该通过的重心，且在与平面ABC垂直的直线上，这样所得的六面体不仅关于平面ABC对称，而且关于平面ADE对称.

由对称性推出由顶点D，E作棱AB的垂线段相等，设F为垂足，则是二面角D-AB-E的平面角.

同样，由顶点B，C作棱AD的垂线段也相等，设G为垂足，则是二面角B-AD-C的平面角.

由题设可证明也是等边三角形，其边长的比等于它们的高之比.即

.而，有.