Question

已知命题p：“sin2011°＜cos2011°”，命题q：“等比数列{a_n}中，a₁＜a₃是a₃＜a₅的充要条件”，则下列命题正确的
是

1. A.
   ￢p或q
2. B.
   p且q
3. C.
   ￢p且￢q
4. D.
   p或￢q

Answer 1

A
分析：利用终边相同的角的形式判断出2011°是第三象限角，先判断出命题p的真假，再利用等比数列的通项公式及不等式的性质判断出命题q的真假，然后根据复合函数的命题的真假与构成其简单命题的真假的关系得到结论．
解答：因为2011°=360°×5+211°是第三象限角，
又221°＜225°
所以sin2011°＞cos2011，
所以命题p：“sin2011°＜cos2011°”，为假命题；￢p为真命题；
设等比数列{a_n}的公比为q，得到它的第n项为a_n=a₁q^n-1
①先看充分性，
∵等比数列的公比q≠0
∴q²ⁿ=（qⁿ）²＞0，从而q²＞0
若a₁＜a₃，即a₁＜a₁q²，两边同乘以q²得：a₁q²＜a₁q4
即a₃＜a₅成立，因此充分性成立
②再看必要性，
若a₃＜a₅可得a₁q²＜a₁q⁴，两边都除以q²得a₁＜a₁q²，
即a₁＜a₃成立，因此必要性成立
综上可得“a₁＜a₃”是“a₃＜a₅”的充分必要条件，
所以命题q：“等比数列{a_n}中，a₁＜a₃是a₃＜a₅的充要条件”为真命题，￢q为假命题，
所以￢p或q为真命题．
点评：本题考查复合命题的真假与构成其简单命题的真假的关系，解决复合函数的真假问题应该先判断出构成其简单命题的真假，属于中档题．