Question

设等差数列{a_n}的公差为d，d＞0，数列{b_n}是公比为q等比数列，且b₁=a₁＞0．
（1）若a₃=b₃，a₇=b₅，探究使得a_n=b_m成立时n与m的关系；
（2）若a₂=b₂，求证：当n＞2时，a_n＜b_n．

Answer 1

分析：（1）记a₁=b₁=a，由已知条件得

a+2d=aq2 a+6d=aq4

，解得a=2d，q=

2

，由此可以推出a_n=b_m．
（2）由题意知q=

b2

b1

=

a2

a1

=

a+d

a

=1+

d

a

＞1，所以，a_n-b_n=a+（n-1）d-aq^n-1，由此能够推导出当n＞2时，a_n＜b_n．

解答：解：（1）设a₁=b₁=a，（由已知得

a+2d=aq2 a+6d=aq4

，a=2d，q=

2

，由题设条件知，a_n=b_m．
则a+（n-1）d=aq^m-1，即2d+(n-1)d=2d(

2

)m-1，所以n+1=(

2

)m+1．
（2）因为d＞0，a＞0，所以q=

b2

b1

=

a2

a1

=

a+d

a

=1+

d

a

＞1，（11分）
n＞2时，a_n-b_n=a+（n-1）d-aq^n-1=a（1-q^n-1）-（n-1）d
=a（1-q）（1+q+q²++q^n-2）+（n-1）d＜a（1-q）（n-1）+（n-1）d
=（（n-1）[a（1-q）+d]=（n-1）（a₂-b₂）=0
所以，当n＞2时，a_n＜b_n．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题．