Question

某森林出现火灾，火势正以每分钟100 m²的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50 m²，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁1 m²森林损失费为60元，问应该派多少消防员前去救火，才能使总损失最少？

Answer 1

分析：将实际问题转化成数学最值问题，利用基本不等式求最值或利用导数求最值

解答：解：设派x名消防员前去救火，用t分钟将火扑灭，总损失为y元，则
t=

5×100

50x-100

=

10

x-2

，
y=灭火材料、劳务津贴+车辆、器械、装备费+森林损失费
=125tx+100x+60（500+100t）
=125x•

10

x-2

+100x+30000+

60000

x-2

方法一：y=1250•

x-2+2

x-2

+100（x-2+2）+30000+

60000

x-2

=31450+100（x-2）+

62500

x-2

≥31450+2

100×62500

=36450，
当且仅当100（x-2）=

62500

x-2

，
即x=27时，y有最小值36450．
答：应该派27名消防员前去救火，才能使总损失最少，最少损失为36450元、
方法二：y′=

1250(x-2-x)

(x-2)2

+100-

60000

(x-2)2

=100-

62500

(x-2)2

，
令100-

62500

(x-2)2

=0，
解得x=27或x=-23（舍）
当x＜27时y′＜0，当x＞27时y′＞0，
∴x=27时，y取最小值，最小值为36450元，
答：应该派27名消防员前去救火，才能使总损失最少，最少损失为36450元．

点评：①本题考查阅读理解的能力
②利用基本不等式求最值凑定值的能力
③利用导数求最值的能力