Question

设函数f（x）是R上的单调函数，且满足：对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）且f（1）=2，问：实数k为何值时，存在t＞2，使得f（klog₂t）+f[（log₂t）²-log₂t-2]＜0？

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：利用赋值法，即可证明函数为奇函数和单调递增函数，再利用换元法，原不等式转化为kx＜-x²+x+2，分离参数求最值，即可求实数k的取值范围．

解答： 解：∵令x=y=0，
则f（0）=f（0）+f（0）
∴f（0）=0，
∵f（1）=2＞f（0），函数f（x）是R上的单调函数
∴函数f（x）是R上的单调增函数，
令y=-x，
则f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴函数f（x）是奇函数，
∵f（klog₂t）+f[（log₂t）²-log₂t-2]＜0，
∴f（klog₂t）＜-f（log₂²t-log₂t-2）=f（-log₂²t+log₂t+2），
令x=log₂t，（x＞1）则原不等式可化为：f（kx）＜f（-x²+x+2）
∵函数f（x）是R上的单调增函数，
∴kx＜-x²+x+2，
∴k＜-x+

2

x

+1
设g（x）=-x+

2

x

+1，x＞1
∵g（x）在（1，+∞）为减函数，
∴g（x）＜g（1）=-1+2+1=2，
∴k＜2
故k的取值范围为（-∞，2）

点评：本题考查函数的奇偶性与单调性，考查函数的值域，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．