Question

（2013•宁德模拟）已知函数，f（x）=

3

cos（

π

2

-2ωx）+2sin²ωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（I ）求函数y=f（x）的最值及其单调递增区间；
（II ）函数f（x）的图象可以由函数y=2sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？

Answer 1

分析：（I）利用降次升角公式，及和差角公式（辅助角公式），可将函数y=f（x）的解析式化为正弦型函数的形式，结合函数y=f（x）的最小正周期为π，可得ω的值，进而结合正弦函数的图象和性质，可得答案．
（II）根据函数图象的变换法则，结合变换前后函数的解析式，可分析出函数变换的方法．

解答：解：（I）∵f（x）=

3

cos（

π

2

-2ωx）+2sin²ωx=

3

sin2ωx+1-cos2ωx=2sin（2ωx-

π

6

）+1
又∵ω＞0，f（x）的最小正周期为π
故ω=1
故f（x）=2sin（2x-

π

6

）+1
∵A=2，B=1
故函数y=f（x）的最大值为3，最小值为-1
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

得
kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z
故函数y=f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，（k∈Z）
（II）将函数y=2sin2x（x∈R）的图象上的所有点向右平移

π

12

个单位长度
得到函数y=2sin2（x-

π

12

）=2sin（2x-

π

6

）（x∈R）的图象；
再将函数y=2sin2（x-

π

12

）=2sin（2x-

π

6

）（x∈R）的图象上的所有点向上平移1个单位长度
得到函数f（x）=2sin（2x-

π

6

）+1的图象．

点评：本题考查的知识点是两角差的正弦函数，二倍角公式，正弦型函数的单调性，周期性，函数图象的变换，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．