Question

已知点P（0，5）及圆C：x²+y²+4x-12y+24=0．
（1）若直线ι过P且被圆C截得的线段长为4

3

，求ι的方程；
（2）求过P点的⊙C的弦的中点轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）确定圆的圆心与半径，分类讨论，利用直线ι被圆C截得的线段长为4

3

，可得直线ι与圆心的距离为2，由此可得结论；
（2）设过P点的圆c的弦的中点D的坐标为（x，y），利用CE⊥PE，可得方程．

解答：解：（1）由圆C：x²+y²+4x-12y+24=0得圆心坐标为（-2，6），半径为4
又因为直线ι被圆C截得的线段长为4

3

，所以直线ι与圆心的距离为2
当直线斜率存在时，设L的斜率是k，过P（0，5），设直线ι：y=kx+5，即kx-y+5=0
∵直线ι与圆C的圆心相距为2，∴d=

|-2k-6+5|

^2+1

=2，解得k=

3

4

，此时直线的方程为3x-4y+20=0
当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=0，也符合题意．
故所求直线的方程为3x-4y+20=0或x=0．-------------------------------（8分）
（2）设过P点的圆c的弦的中点D的坐标为（x，y），则
∵CE⊥PE，∴（x+2）•x+（y-6）•（y-5）=0
化简得所求轨迹方程为x²+y²+2x-11y+30=0----------------------------（14分）

点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．