Question

14．设a∈R，若x＞0时，均有（3ax-2）（x²-ax-2）≥0，则a=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 构造函数y₁=3ax-2，y₂=x ²-ax-2，它们都过定点P（0，-2），函数y₂=x ²-ax-2，显然过点M（$\frac{2}{3a}$，0），计算即可得到答案．

解答 解：构造函数y₁=3ax-2，y₂=x ²-ax-2，它们都过定点P（0，-2），
考查函数y₁=3ax-2，令y=0，得M（$\frac{2}{3a}$，0），∴a＞0；
考查函数y₂=x ²-ax-2，显然过点M（$\frac{2}{3a}$，0），代入得：$\frac{4}{9{a}^{2}}$-$\frac{2}{3}$-2=0，
解之得：a=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，或a=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$（舍去）．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{3}$

点评 本题考查不等式恒成立问题，解题的关键是构造函数，利用函数的性质求解．在x＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间，在各自的区间内恒正或恒负，即可得到结论