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7.已知圆锥的底面半径为3,母线长为5,在圆锥内部放置一个内接圆柱(圆柱的一底面与圆锥的底面重合),
(Ⅰ)求圆柱的体积V与其底面半径r的函数关系式;
(Ⅱ)求圆柱的体积V最大值.

分析 (Ⅰ)画出圆锥及内接圆柱的轴截面,根据三角形相似对应边成比例,用r表示圆柱的高x,代入圆柱体积公式,可得答案;
(Ⅱ)由(I)中体积的表达式,利用导数法,可得V的最大值点,进而得到V的最大值.

解答 解:(Ⅰ)如下图所示:
 
圆锥的底面半径R=3,母线长l=5,
则圆锥的高h=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4,
当圆锥内部放置一个内接圆柱的底面半径为r时,圆柱的高x满足:$\frac{r}{R}=\frac{h-x}{h}$,即x=4-$\frac{4}{3}r$,
故圆柱的体积V=${4{πr}^{2}-\frac{4}{3}πr}^{3}$;
(Ⅱ)由(I)得:V′=8πr-4πr2
当r∈(0,2)时,V′>0,V随r的增大而增大;
当r∈(2,3)时,V′<0,V随r的增大而减小;
故当r=2时,V取最大值$\frac{16}{3}π$

点评 本题考查的知识点是圆柱和圆锥的几何特征,函数的最大值,难度中档.

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