Question

若M，A，B三点不共线，且存在实数λ₁，λ₂，使

MC

=λ₁

MA

+λ₂

MB

，求证：“C为A，B的中点”的充要条件是“λ₁=λ₂=

1

2

”

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：证明题,简易逻辑

分析：充要性证明一般分充分性与必要性分开证明，由

MC

=

1

2

MA

+

1

2

MB

可推出

CA

+

CB

=0，由C为A，B的中点可推出

MC

=

1

2

MA

+

1

2

MB

．

解答： 解：充分性：∵λ₁=λ₂=

1

2

，
∴

MC

=

1

2

MA

+

1

2

MB

，
即

1

2

（

MA

-

MC

）+

1

2

（

MB

-

MC

）=0，
即

CA

+

CB

=0，
∴C为A，B的中点；
必要性：∵C为A，B的中点，
∴

CA

+

CB

=0，
∴

1

2

（

MA

-

MC

）+

1

2

（

MB

-

MC

）=0，
∴

MC

=

1

2

MA

+

1

2

MB

，
又∵M，A，B三点不共线，
∴

MA

，

MB

是平面向量的一组基底，
∴λ₁=λ₂=

1

2

．

点评：本题考查了充要性的证明，充要性证明一般分充分性与必要性分开证明；同时考查了向量的化简，由

CA

+

CB

=0可知C为A，B的中点，由

MC

=

1

2

MA

+

1

2

MB

，

MC

=λ₁

MA

+λ₂

MB

；由平面向量基本定理可知λ₁=λ₂=

1

2

．属于基础题．