Question

已知函数f（x）=x⁴-2ax²．
（I）求证：方程f（x）=1有实根；
（II）h（x）=f（x）-x在[0，1]上是单调递减的，求实数a的取值范围；
（III）当x∈[0，1]时，关于x的不等式|f′（x）|＞1的解集为空集，求所有满足条件的实数a的值．

Answer 1

解：（I）要证x⁴-2ax²=1的实根，
设t=x²，也就是证明方程t²-2at=1有非负实数根．
而△=4a²+4＞0，故可设t²-2at-1=0的两根为t₁，t₂．
t₁t₂=-1，∴t₁，t₂一正一负，
∴方程有正根
∴方程f（x）=1有实根；
（II）由题设知对任意的x∈[0，1]时，
h′（x）=f′（x）-1=4x³-4ax-1≤0恒成立，
x=0时显然成立；
对任意的0＜x≤1，a≥x²-，∴a≥（x²-）max
而g（x）=x²-在（0，1]上单调增，
∴a≥f（1）=，
∴a的取值范围为[，+∞）．
（III）由题设知，当x∈[0，1]时，|4x³-4ax|≤1恒成立
记F（x）=4x³-4ax
若a≤0则F（1）=4-4a≥4，不满足条件；
若a＞0则F′（x）=12x²-4a=12（x-）（x+）
①当＜1即0＜a＜3时，F（x）在[0，]上递减，在[，1]上递增，
于是，|F（x）|max=max{-F（），F（1）}=max{，4-4a}≤1
解之得：a=
②当≥1即a≥3时，F（x）在[0，1]上递减，于是|F（x）|max=-F（1）=4-4a≥8，与题意矛盾．
综上所述：a=．
分析：（I）要证x⁴-2ax²=1的实根，设t=x²，也就是证明方程t²-2at=1有非负实数根．而△=4a²+4＞0，故可设t²-2at-1=0的两根为t₁，t₂．利用根与系数的关系即得；
（II）由题设知对任意的x∈[0，1]时，h′（x）=f′（x）-1=4x³-4ax-1≤0恒成立，对x分类讨论：x=0时显然成立；
对任意的0＜x≤1，a≥x²-结合函数的单调性即可求出a的取值范围；
（III）由题设知，当x∈[0，1]时，|4x³-4ax|≤1恒成立，记F（x）=4x³-4ax，对a分类：若a≤0不满足条件；若a＞0则F′（x）=12x²-4a=12（x-）（x+）从而求出满足条件的实数a的值．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、二次函数的性质、一元二次方程的根的分布与系数的关系、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想、化归与转化思想．属于基础题．