Question

已知点（1，

1

3

）是函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的图象上一点，等比数列{a_n}的前n项和为f（n）-c，数列{b_n}（b_n＞0）的首项为c，且前n项和S_n满足S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）．记数列{

1

bnbn+1

}前n项和为T_n，
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若对任意正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式t²-2mt+

1

2

＞T_n恒成立，求实数t的取值范围
（3）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）因为点 (1，

1

3

)是函数f（x）=a^x的图象上一点，所以a=

1

3

，所以f（x）=(

1

3

)x，即可得到数列的前3项，进而求出数列的首项与公比，即可得到数列{a_n}的通项公式；
因为 Sn-Sn-1=(

Sn

+

Sn-1

) (

Sn

-

Sn-1

)=

Sn

+

Sn-1

，所以数列{

Sn

}是以1为首项，以1为公差的等差数列，所以得到S_n，利用b_n=S_n-S_n-1求出答案．
（2）利用裂项相消的方法可得：T_n=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

；进而把原不等式化简为：当m∈[-1，1]时，不等式t²-2mt＞0恒成立；设g（m）=-2tm+t²，m∈[-1，1]，然后利用函数的有界性解决恒成立问题即可得到答案．
（3）利用T₁，T_m，T_n成等比数列，得T_m²=T₁•T_n得到(

m

2m+1

)2=

1

3

×

n

2n+1

，n=

3m2

-2m2+4m+1

＞m，最后结合1＜m＜n知，m=2，n=12即可．

解答：解：（1）因为f（1）=a=

1

3

，所以f（x）=(

1

3

)x，
所以 a1=f(1)-c=

1

3

-c，a₂=[f（2）-c]-[f（1）-c]=-

2

9

，a₃=[f（3）-c]-[f（2）-c]=-

2

27

因为数列{a_n}是等比数列，所以 a1=

a 2 2

a3

=-

2

3

=

1

3

-c，所以c=1．
又公比q=

a2

a1

=

1

3

，所以 an=-2(

1

3

)n；
由题意可得：Sn-Sn-1=(

Sn

+

Sn-1

) (

Sn

-

Sn-1

)=

Sn

+

Sn-1

，
又因为b_n＞0，所以

Sn

-

Sn-1

=1；
所以数列{

Sn

}是以1为首项，以1为公差的等差数列，并且有

Sn

=n，所以Sn=n2；
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=2n-1；
所以b_n=2n-1．
（2）因为数列 {

1

bnbn+1

}前n项和为T_n，
所以 Tn=

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

×(1- 

1

3

 +

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

+

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

；
因为当m∈[-1，1]时，不等式 t2-2mt+

1

2

＞Tn恒成立，
所以只要当m∈[-1，1]时，不等式t²-2mt＞0恒成立即可，
设g（m）=-2tm+t²，m∈[-1，1]，
所以只要一次函数g（m）＞0在m∈[-1，1]上恒成立即可，
所以

g(1)=t2-2t＞0 g(-1)=t2+2t＞0

，
解得t＜-2或t＞2，
所以实数t的取值范围为（-∞，-2）∪（2，+∞）．
（3）T₁，T_m，T_n成等比数列，得T_m²=T₁•T_n
∴(

m

2m+1

)2=

1

3

×

n

2n+1

，
∴n=

3m2

-2m2+4m+1

＞m
结合1＜m＜n知，m=2，n=12（14分）

点评：本题综合考查数列、不等式与函数的有关知识，解决此类问题的关键是熟练掌握数列求通项公式与求和的方法，以及把不等式恒成立问题转化为函数求最值问题，然后利用函数的有关知识解决问题．