Question

已知A，B，C三点在球心为O，半径为3的球面上，且几何体O-ABC为正四面体，那么A，B两点的球面距离为

 

；点O到平面ABC的距离为

 

．

Answer 1

分析：欲求A，B两点的球面距离，先求出A、B两点的球心角∠AOB，再利用球面距离的定义即可求出，将点O到平面ABC的距离转化为点O到直线AD的距离，通过解直角三角形即得．

解答：解：作出图形，
∵几何体O-ABC为正四面体，
∴球心角∠AOB=

π

3

∴A，B两点的球面距离=

π

3

×3=π．
∵几何体O-ABC为正四面体，
∴球心在平面ABC上的射影是三角形的中心Q，
∴点O到平面ABC的距离为OQ，
在直角三角形OAQ中，
OA=3，AQ=

2

3

AD=

3

，
∴OQ=

9-3

=

6

．
故答案为：π，

6

点评：本题主要考查了点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．