Question

（1）设0＜x＜，求函数y=4x（3-2x）的最大值；
（2）已知x，y都是正实数，且x+y-3xy+5=0，求xy的最小值．

Answer 1

解：（1）∵0＜x＜，∴3-2x＞0．
∴y=4x•（3-2x）=2[2x（3-2x）]≤2[]²=．
当且仅当2x=3-2x，即x=时，等号成立．
∵∈（0，），
∴函数y=4x（3-2x）（0＜x＜）的最大值为．

（2）由x+y-3xy+5=0得x+y+5=3xy．
∴2+5≤x+y+5=3xy．
∴3xy-2-5≥0，
∴（+1）（3-5）≥0，
∴≥，即xy≥，
等号成立的条件是x=y．
此时x=y=，
故xy的最小值是．
分析：（1）先根据x的范围确定3-2x的符号，再由y=4x•（3-2x）=2[2x（3-2x）]结合基本不等式的内容可得到函数的最大值．
（2）先根据x+y-3xy+5=0得到x+y+5=3xy，进而可根据基本不等式得到2+5≤x+y+5=3xy，根据一元二次不等式的解法得到的范围，进而可得到xy的范围，即可求出xy的最小值．
点评：本题主要考查基本不等式的用法和一元二次不等式的解法．应用基本不等式时注意“一正、二定、三相等”的原则．