Question

【题目】设数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1=a2Sn+a1 ， 其中a2≠0．
（1）求证：{an}是首项为1的等比数列；
（2）若a2＞﹣1，求证 ，并给出等号成立的充要条件．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵Sn+1=a2Sn+a1，①

∴Sn+2=a2Sn+1+a1，②

②﹣①可得：an+2=a2an+1

∵a2≠0，∴

∵Sn+1=a2Sn+a1，∴S2=a2S1+a1，∴a2=a2a1

∵a2≠0，∴a1=1

∴{an}是首项为1的等比数列；

（2）证明：当n=1或2时， 等号成立

设n≥3，a2＞﹣1，且a2≠0，由（Ⅰ）知a1=1， ，所以要证的不等式可化为

（n≥3）

即证 （n≥2）

a2=1时，等号成立

当﹣1＜a2＜1时， 与 同为负；

当a2＞1时， 与 同为正；

∴a2＞﹣1且a2≠1时，（ ）（ ）＞0，即

上面不等式n分别取1，2，…，n累加可得

∴

综上， ，等号成立的充要条件是n=1或2或a2=1．

【解析】（1）根据Sn+1=a2Sn+a1 ， 再写一式，两式相减，即可证得{an}是首项为1的等比数列；（2）当n=1或2时， 等号成立，设n≥3，a2＞﹣1，且a2≠0，由（1）知a1=1， ，所以要证的不等式可化为 （n≥3），即证 （n≥2），a2=1时，等号成立；再证明a2＞﹣1且a2≠1时，（ ）（ ）＞0，即可证得结论．
【考点精析】利用等比数列的前n项和公式和等比关系的确定对题目进行判断即可得到答案，需要熟知前项和公式：；等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n项和法进行判断．