Question

已知2^x≤256且log2x≥

1

2

，求函数f(x)=log2

x

2

•log

2

x

2

的最大值和最小值．

Answer 1

分析：由2^x≤256且log2x≥

1

2

，可解得

2

≤x≤8，即函数f(x)=log2

x

2

•log

2

x

2

的定义域为[

2

，8]，对函数表达式进行化简、配方，而后判断求值．

解答：解：由2^x≤256且log2x≥

1

2

，可解得

2

≤x≤8，
则f（x）的定义域为[

2

，8]，
f(x)=log2

x

2

•log

2

x

2

=（log₂x-1）×（log₂x-2）=(log2x-

3

2

) 2-

1

4

由f（x）的定义域为[

2

，8]，即3≥log2x≥

1

2

故函数的最大值是f（8）=2
最小值是-

1

4

答：函数f(x)=log2

x

2

•log

2

x

2

的最大值和最小值分别为2与-

1

4

．

点评：本题考查解指数不等式与对数不等式的解法，以及求对数函数的最值，主要训练根据运算性质灵活变形的能力．本题在求最值时用到了配方法，配方法是求最值的常用手段．