Question

f（x）=5sin（2x+

π

6

）+

7

2

．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调减区间；
（3）当

π

6

≤x≤

π

2

时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：正弦函数的单调性,三角函数的周期性及其求法,三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据正弦函数的周期公式可得函数f（x）的最小正周期．
（2）由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z可解得函数f（x）的单调减区间．
（3）由

π

6

≤x≤

π

2

，可得

π

2

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，从而有sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，即可求得函数f（x）的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）=5sin（2x+

π

6

）+

7

2

．
∴根据正弦函数的周期公式可得：T=

2π

2

=π．
故函数f（x）的最小正周期是π．
（2）由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z可解得：kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z，
故函数f（x）的单调减区间是：[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z，
（3）∵

π

6

≤x≤

π

2

，
∴

π

2

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴5sin（2x+

π

6

）+

7

2

∈[1，

17

2

]，
∴故当

π

6

≤x≤

π

2

时，函数f（x）的值域[1，

17

2

]．

点评：本题主要考查了正弦函数的周期性，单调性，考查了正弦函数值域的求法，属于基本知识的考查．