Question

如图，在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，E∈BB₁，截面A₁EC⊥侧面AC₁．

(Ⅰ)求证：BE=EB₁;

(Ⅱ)若AA₁=A₁B₁；求平面A₁EC与平面A₁B₁C₁所成二面角(锐角)的度数．

注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为(Ⅰ)的完整证明，并解答(Ⅱ)．(右下图)

(Ⅰ)在截面A₁EC内，过E作EG⊥A₁C，G是垂足．

① ∵______________

∴EG⊥侧面AC₁;取AC的中点F，连结BF，FG，由AB=BC得BF⊥AC，

② ∵______________

∴BF⊥侧面AC₁;得BF∥EG，BF、EG确定一个平面，交侧面AC₁于FG．

③ ∵_______________

∴BE∥FG，四边形BEGF是平行四边形，BE=FG，

④ ∵______________

∴FG∥AA₁，△AA₁C∽△FGC，

⑤ ∵________________

∴，即

 

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)①∵面A1EC⊥侧面AC1，        ②∵面ABC⊥侧面AC1，        ③∵BE∥侧面AC1，        ④∵BE∥AA1，        ⑤∵AF=FC，        (Ⅱ)解：分别延长CE、C1B1交于点D，连结A1D． ∵∥， ∴ ∵∠B1A1C1=∠B1 C1A1=60°， ∠DA1B1=∠A1DB1=（180°－∠D B1A1）=30°， ∴∠DA1C1=∠DA1B1+∠B1A1C1=90°，即⊥ ∵CC1⊥面A1C1B1，即A1C1是A1C在平面A1C1D上的射影，根据三垂线定理得DA1⊥A1C， 所以∠CA1C1是所求二面角的平面角．                                ∵CC1=AA1=A1B1=A1C1，∠A1C1C=90°， ∴∠ CA1C1=45°，即所求二面角为45°