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已知函数f(x)=b+(1-2a)x+x2-x3
(I)讨论f(x)在其定义域上的单调性;
(II)设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=4x-1,求函数f(x)在定义域上的极小值.
考点:利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程
专题:计算题,导数的综合应用
分析:(I)求导f′(x)=(1-2a)+2x-3x2,从而讨论导数的正负以确定函数的单调性;
(II)由曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=4x-1知f(1)=4-1=3=b+(1-2a)+1-1,f′(1)=(1-2a)+2-3=4;从而解出a,b;从而求极小值.
解答: 解:(I)f′(x)=(1-2a)+2x-3x2
①当△=4+4×3(1-2a)≤0;
即a≥
2
3
时,f′(x)≤0;
故f(x)在其定义域上是减函数,
②当△=4+4×3(1-2a)>0,即a<
2
3
时;
当x∈(-∞,
1-
4-6a
3
),(
1+
4-6a
3
,+∞)时,f′(x)<0;
当x∈(
1-
4-6a
3
1+
4-6a
3
)时,f′(x)>0;
故f(x)在(-∞,
1-
4-6a
3
),(
1+
4-6a
3
,+∞)上为减函数,
在(
1-
4-6a
3
1+
4-6a
3
)为增函数;
(II)∵曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=4x-1,
∴f(1)=4-1=3=b+(1-2a)+1-1;
f′(1)=(1-2a)+2-3=4,
解得,a=-2,b=-2;
故f(x)=-x3+x2+5x-2,f′(x)=-3(x-
5
3
)(x+1);
则f(x)在(-∞,-1),(
5
3
,+∞)上为减函数,在(-1,
5
3
)为增函数;
故函数f(x)在x=-1处有极小值f(-1)=-5.
点评:本题考查了导数的综合应用及分类讨论的数学思想应用,属于中档题.
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