分析 设x1=a,x2=b,a,b均大于2,由已知推导出$\frac{3}{lo{g}_{2}2{a}^{2}}+\frac{3}{lo{g}_{2}2{b}^{2}}$=1,由均值宣得到ab≥32,由此能求出f(x1x2)的最小值.
解答 解:设x1=a,x2=b,a,b均大于2,
∵函数f(x)=$\frac{lo{g}_{2}x-1}{2lo{g}_{2}x+1}$(x>2),f(x1)+f(x2)=$\frac{1}{2}$,
f(x)=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}•\frac{3}{2lo{g}_{2}x+1}$,
∴f(a)+f(b)=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}•\frac{3}{2lo{g}_{2}a+1}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}•\frac{3}{2lo{g}_{2}b+1}$=1-$\frac{1}{2}$($\frac{3}{lo{g}_{2}2{b}^{2}}+\frac{3}{lo{g}_{2}2{a}^{2}}$)=$\frac{1}{2}$,
∴$\frac{3}{lo{g}_{2}2{a}^{2}}+\frac{3}{lo{g}_{2}2{b}^{2}}$=1,
∵($lo{g}_{2}2{a}^{2}+lo{g}_{2}2{b}^{2}$)($\frac{3}{lo{g}_{2}2{a}^{2}}+\frac{3}{lo{g}_{2}2{b}^{2}}$)=3+$\frac{3lo{g}_{2}2{b}^{2}}{lo{g}_{2}2{a}^{2}}$+$\frac{3lo{g}_{2}2{a}^{2}}{lo{g}_{2}2{b}^{2}}$+3≥12,
∴$lo{g}_{2}2{a}^{2}+lo{g}_{2}2{b}^{2}$=$lo{g}_{2}(4{a}^{2}{b}^{2})$≥12,解得ab≥32,
∴f(ab)=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}•\frac{3}{2lo{g}_{2}(ab)+1}$≥$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}•\frac{3}{2×5+1}$=$\frac{1}{2}(1-\frac{3}{11})$=$\frac{4}{11}$.
∴f(x1x2)的最小值=$\frac{4}{11}$.
故答案为:$\frac{4}{11}$.
点评 本题考查函数值的最小值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意对数性质和均值定理的合理运用.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | -2 | B. | 2 | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | $-\frac{1}{2}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 20 | B. | 42 | C. | 72 | D. | 112 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | ${A}_{10}^{2}$种 | B. | ${C}_{10}^{2}$种 | C. | 10${C}_{10}^{1}$种 | D. | 10${A}_{10}^{2}$种 |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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