Question

从平面α外一点P向平面α引垂线PO与斜线PA、PB，垂足为A、B．
（1）若∠APB=60°，PA、PB分别和α成30°、45°角，求cos∠AOB的值；
（2）若PA、PB和平面α所成角的差为45°，且AO=2，BO=12，求PO的长；
（3）若PA：PB=2：3，PA、PB与α所成的角之比依次为2：1，求PB与α所成角的正弦值．

Answer 1

（1）设PO=x，则有PA=2x，OA=

3

x，OB=x，PB=

2

x
在△PAB中，AB2=(6-2

2

)x2
在△OAB中，cos∠AOB=

(2 2 -2)x2

2 3 x2

=

6 - 3

3

；
（2）由题意，设∠PBO=α，则∠PAO=45°+α
∴PO=2tan（α+45°）=12tanα，
∴tanα=

1

2

或tanα=

1

3

∴P0=6或4；
（3）设PA=2a，PB=3a，∠PBO=β，则∠PAO=2β
∴2asin2β=3asinβ 
∴cosβ=

3

4

∴sinβ=

7

4