Question

【题目】如图所示，某村积极开展“美丽乡村生态家园”建设，现拟在边长为1千米的正方形地块ABCD上划出一片三角形地块CMN建设美丽乡村生态公园，给村民休闲健身提供去处．点M，N分别在边AB，AD上． （Ⅰ）当点M，N分别是边AB，AD的中点时，求∠MCN的余弦值；
（Ⅱ）由于村建规划及保护生态环境的需要，要求△AMN的周长为2千米，请探究∠MCN是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当点M，N分别是边AB，AD的中点时，设∠DCN=∠BCM=θ， CD=BC=1，DN=BM= ，CN=CM= ，sinθ= ，cosθ= ，∠MCN= ﹣2θ，
所以cos∠MCN=cos（ ﹣2θ）=sin2θ=2sinθcosθ= ，
所以∠MCN的余弦值是 ．
（Ⅱ）设∠BCM=α，∠DCN=β，AM=x，AN=y，则BM=1﹣x，DN=1﹣y，
在△CBM中，tanα=1﹣x，在△CDN中，tanβ=1﹣y，
所以：tan（α+β）= = = ，（*）
△AMN的周长为2千米，所以x+y+ =2，化简得xy=2（x+y）﹣2，
代入（*）式，可得tan（α+β）= = = =1，
所以α+β= ，所以∠MCN是定值，且∠MCN= ．

【解析】（Ⅰ）设∠DCN=∠BCM=θ，由题意利用勾股定理可求CN=CM= ，从而可求sinθ= ，cosθ= ，∠MCN= ﹣2θ，利用诱导公式，二倍角公式即可求∠MCN的余弦值．（Ⅱ）设∠BCM=α，∠DCN=β，AM=x，AN=y，可求BM=1﹣x，DN=1﹣y，tanα=1﹣x，tanβ=1﹣y，可得tan（α+β）= ，由x+y+ =2，化简得xy=2（x+y）﹣2，求得tan（α+β）=1，即可得解∠MCN是定值，且∠MCN= ．
【考点精析】利用两角和与差的正切公式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知两角和与差的正切公式：．