Question

已知椭圆的两焦点为F₁（0，-1）、F₂（0，1），直线y=4是椭圆的一条准线．
（1）求椭圆方程；
（2）设点P在椭圆上，且|PF₁|-|PF₂|=1，求tan∠F₁PF₂的值．

Answer 1

分析：（1）先判断椭圆的焦点在x轴上，再根据条件求出a²、b²即可；
（2）利用椭圆的定义，求出|PF₁|，|PF₂|与|F₁F₂|，利用余弦定理求得角的余弦值，再利用同角三角函数基本关系式求其正切值．

解答：解：（1）根据题意，椭圆的焦点在y轴上，且c=1，

a2

c

=4，
∴a²=4，b²=a²-c²=3，
∴椭圆的标准方程是

y2

4

+

x2

3

=1；
（2）∵P在椭圆上，∴|PF₁|+|PF₂|=2a=4，
又|PF₁|-|PF₂|=1，∴|PF₁|=

5

2

，|PF₂|=

3

2

，|F₁F₂|=2，
∴cos∠F₁PF₂=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2×|PF2|×|PF1|

=

3

5

，
∴sin∠F₁PF₂=

4

5

，
∴tan∠F₁PF₂=

sin∠F1PF2

cos∠F1PF2

=

4

3

点评：本题考查椭圆的标准方程及椭圆的性质．