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已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A>0,ω>0,-
π
2
<φ<
π
2
),其部分图象如图所示.
(I)求f(x)的解析式;
(II)求函数g(x)=f(x+
π
4
)•f(x-
π
4
)
在区间[0,
π
2
]
上的最大值及相应的x值.
(I)由图可知,A=1(1分)
T
4
=
π
2
,所以T=2π(2分)
所以ω=1(3分)
f(
π
4
)=sin(
π
4
+ϕ)=1
,且-
π
2
<φ<
π
2

所以ϕ=
π
4
(5分)
所以f(x)=sin(x+
π
4
)
.(6分)

(II)由(I)f(x)=sin(x+
π
4
)

所以g(x)=f(x+
π
4
)•f(x-
π
4
)
=sin(x+
π
4
+
π
4
)•sin(x-
π
4
+
π
4
)
=sin(x+
π
2
)sinx
(8分)
=cosx•sinx(9分)
=
1
2
sin2x
(10分)
因为x∈[0,
π
2
]
,所以2x∈[0,π],sin2x∈[0,1]
故:
1
2
sin2x∈[0,
1
2
]

x=
π
4
时,g(x)取得最大值
1
2
.(13分)
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0,|ϕ|<
π
2
,x∈R)的部分图象如图所示,则函数表达式为(  )
A.y=-4sin(
π
8
x+
π
4
B.y=4sin(
π
8
x-
π
4
C.y=-4sin(
π
8
x-
π
4
D.y=4sin(
π
8
x+
π
4

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-
π
2
<φ<
π
2
)
的图象相邻的最高点与最低点的坐标分别为(
12
,3),(
11π
12
,-3)
,求函数解析式.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

对于定义在区间D上的函数f(X),若存在闭区间[a,b]?D和常数c,使得对任意x1∈[a,b],都有f(x1)=c,且对任意x2∈D,当x2∉[a,b]时,f(x2)<c恒成立,则称函数f(x)为区间D上的“平顶型”函数.给出下列说法:
①“平顶型”函数在定义域内有最大值;
②函数f(x)=x-|x-2|为R上的“平顶型”函数;
③函数f(x)=sinx-|sinx|为R上的“平顶型”函数;
④当t≤
3
4
时,函数,f(x)=
2,(x≤1)
log
1
2
(x-t),(x>1)
是区间[0,+∞)上的“平顶型”函数.
其中正确的是______.(填上你认为正确结论的序号)

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数f(x)=Asin(ωx+
π
3
)(其中A>0,ω>0)的振幅为2,周期为π.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)求f(x)的单调增区间.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f(1)+f(2)+…+f(11)的值是(  )
A.2+2
2
B.2-2
2
C.0D.-1

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,函数y=2cos(ωx+θ)(x∈R,0≤θ≤
π
2
)
的图象与y轴交于点(0,
3
)
,且在该点处切线的斜率为-2.
(1)求θ和ω的值;
(2)已知点A(
π
2
,0)
,点P是该函数图象上一点,点Q(x0,y0)是PA的中点,当y0=
3
2
x0∈[
π
2
,π]
时,求x0的值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数f(x)=3cos(
x
2
+
π
3

(1)求出f(x)的最小正周期、单调增区间、对称轴方程;
(2)说明此函数图象可由y=cosx上的图象经怎样的变换得到.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知,则的值为 (  ).
A.B.-C.D.-

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