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14.已知数列$\frac{1}{1×3}$,$\frac{1}{3×5}$,$\frac{1}{5×7}$,…,$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$,…的前n项和为Sn,计算得S1=$\frac{1}{3}$,S2=$\frac{2}{5}$,S3=$\frac{3}{7}$,照此规律,Sn=$\frac{n+1}{2}$.

分析 由已知条件利用裂项求和法求解.

解答 解:∵数列$\frac{1}{1×3}$,$\frac{1}{3×5}$,$\frac{1}{5×7}$,…,$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$,…的前n项和为Sn
∴S1=$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3})$=$\frac{1}{3}$,
S2=$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{2}$(1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$)=$\frac{2}{5}$,
S3=$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}$=$\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7})$=$\frac{3}{7}$,
照此规律,Sn=$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$
=$\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$
=$\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n+1})$
=$\frac{n}{2n+1}$.
故答案为:$\frac{n}{2n+1}$.

点评 本题考查数列的前n项和的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意裂项求和法的合理运用.

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