Question

【题目】定义域为{x|x∈N* ， 1≤x≤12}的函数f（x）满足|f（x+1）﹣f（x）|=1（x=1，2，…11），且f（1），f（4），f（12）成等比数列，若f（1）=1，f（12）=4，则满足条件的不同函数的个数为 ．

Answer 1

【答案】176
【解析】解：根据题意，若|f（x+1）﹣f（x）|=1，则f（x+1）﹣f（x）=1和f（x+1）﹣f（x）=﹣1中， 必须且只能有1个成立，
若f（1）=1，f（12）=4，且f（1），f（4），f（12）成等比数列，
则f（4）=±2，
分2种情况讨论：
①、若f（4）=﹣2，
在1≤x≤3中，f（x+1）﹣f（x）=﹣1都成立，
在4≤x≤11中，有1个f（x+1）﹣f（x）=﹣1，7个f（x+1）﹣f（x）=1成立，
则有C81=8种情况，即有8个不同函数；
②、若f（4）=2，
在1≤x≤3中，有1个f（x+1）﹣f（x）=﹣1成立，2个f（x+1）﹣f（x）=1成立，有C31=3种情况，
在4≤x≤11中，有3个f（x+1）﹣f（x）=﹣1，5个f（x+1）﹣f（x）=1成立，有C83=56种情况，
则有3×56=168种情况，即有168个不同函数；
则一共有8+168=176个满足条件的不同函数；
所以答案是：176．
【考点精析】本题主要考查了函数的值的相关知识点，需要掌握函数值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法才能正确解答此题．